Борис Свешников родился в Москве, в семье потомственных дворян. Происхождение, вероятно, послужившее незримой опорой его эстетическим принципам, стало одновременно залогом нелегких жизненных испытаний.  Борис с детства рисовал, знал и любил работы старых европейских мастеров. В 1944 году он поступил в Московский институт прикладного и декоративного искусства. Ни одна из его ранних работ не сохранилась. 
В феврале 1946 года юноша был арестован вместе со своими однокурсниками Львом Кропивницким, Юрием Шеплетто, Русланом Казаковым-Троянским и Сергеем Филиповским, студентом Военно-морского инженерного училища. Все пятеро были обвинены в создании террористической организации. Главной уликой против них стал случайно обнаруженный литературный дневник Казакова-Троянского, где он упоминал имена друзей. Записи были полны мрачных романтических фантазий об убийствах и никогда не существовавших тайных союзах. Из всего этого было сфабриковано дело антисоветской организации «Общество московских дворян»… На допросах Борис не признал вины, но прямо высказался о творческой несвободе советских художников. В обвинительном заключении он назван потенциальным исполнителем убийства Сталина. Проведя год в тюрьме, в начале 1947 года он был отправлен в Ухтижемлаг.
В лагере Борис рисовал урывками в часы отдыха, отправлял рисунки домой в письмах или передавал родителям при свиданиях. На тяжелых земляных работах он быстро дошел до крайней степени истощения и был отправлен в лагерную больницу. После больницы ему помогли устроиться ночным сторожем в деревообделочный цех на лагпункте Ветлосян. При цехе была художественная мастерская – Свешников получил в свое распоряжение бумагу и тушь, а также полную свободу творчества во время ночных дежурств. Тайком он передавал работы на волю. Именно так была создана знаменитая серия его лагерных рисунков, которую сам художник соотнес с образами сновидений, предпослав им эпиграф из Шекспира: «Мы сами созданы из сновидений,
и эту нашу маленькую жизнь сон окружает...». Галантные сцены, фантастические пейзажи и интерьеры, нарисованные тонким пером, на первый взгляд чрезвычайно далеки от реальной действительности, окружавшей художника. О ней, однако, заставляет задуматься общая тревожность композиций с затуманенностью их смысла: на каждом рисунке что-то происходит, но суть происходящего неясна, а порой и абсурдна… К ней возвращают неожиданные детали, сходу почти незаметные в ажурной прихотливости линий: лагерный забор, барак, вооруженные люди в военной форме…
Борис Свешников вышел на свободу в 1954 году, жил в Тарусе, где создал серию рисунков, по форме и стилю примыкающую к лагерному циклу. После реабилитации в 1956 году вернулся в Москву, в 1958 был принят в Союз художников, участвовал в нескольких выставках молодых художников. Иллюстрировал в Гослитиздате книги Гофмана, Метерлинка, Гёте, сказки Андерсена и братьев Гримм. Сблизился с художниками Лианозовской группы, хотя в творческом отношении шел скорее своей дорогой. 
Рисунки и живописные холсты Бориса Свешникова выставлялись на родине и за рубежом в составе многочисленных групповых выставок. Его работы хранятся в коллекциях  Московского музея современного искусства, Международного Мемориала, Государственного центра современного искусства (Россия, Москва); в Музее русского искусства в Джерси-сити, в Музее Циммерли университета Рутгерса (Нью-Джерси, США), в многочисленных частных собраниях. 
Борис Свешников умер в Москве в 1998 году.